Materiali Classe I

un percorso tra aritmetica e algebra  sul filo di risultati sorprendenti.
Gemma Gallino
Liceo Scientifico “Galileo Ferraris” Torino

La “magia” è la possibilità di incontrare risultati sorprendenti,  di introdurre e sviscerare argomenti, di giocare con materiali  curiosi e stimolanti, di rivivere scoperte importanti  anche in matematica.
Vengono analizzati vari giochi di Matematica per scoprirne i segreti ovvero le proprietà applicate.
“L’insegnante deve assomigliare a colui che gioca con l’aquilone
 più che al conduttore di un rullo compressore.”
Andrè Delessert

Si può amare la musica soltanto con anni di  studio sul solfeggio?
Si può amare una lingua  con anni di studio che riguardano solo la grammatica?
A queste domande, non c’è dubbio, tutti risponderebbero “No!”
Ma per la matematica il discorso sembra a prima vista essere diverso: così vengono sottoposti agli allievi lunghi  esercizi di aritmetica, di algebra od anche di geometria che equivalgono al  solfeggio o alle questioni riguardanti la grammatica.
Certo il solfeggio è  indispensabile per poter suonare, ma da solo non soddisfa l’orecchio come l’ascolto di un brano musicale ed   un esercizio di grammatica può suscitare molte meno emozioni della lettura di  una poesia.
Riflettendo su queste questioni è stato costruito un percorso in cui  si cerca di parlare di matematica attraverso il gioco e  la magia.
Si analizzano situazioni sorprendenti,  si formalizzano alcuni problemi legati a “giochi di prestigio”  e con tali pretesti si portano gli allievi a riprendere concetti  e proprietà importanti. Ecco qualche esempio.

Prevedo il risultato! [1]

• invitate un allievo a scrivere su una lavagnetta un numero intero positivo di cinque cifre,
• prendete visione   del numero e scrivete su un foglietto  il numero che si ottiene sottraendo 2 al numero precedente e riscrivendo la cifra 2 davanti al numero ottenuto.

Ad esempio, se il numero sulla lavagnetta è 57836   calcolate  57836 – 2 = 57834;
scrivete su un foglietto   257834 e richiudete quindi tale foglietto in una busta.

• Ora invitate un altro allievo a scrivere un secondo numero a piacere, sempre di cinque cifre e di incolonnarlo    sotto al numero precedente.
• A questo punto scrivete voi  stessi un numero incolonnato ancora ai precedenti. Non un numero qualunque ma quello che si ottiene calcolando il “complemento a 9 di ciascuna delle cifre del numero precedente.
• Ad esempio, se il terzo numero è 17 893 scrivete 82 106. Attenzione: se il numero scritto inizia per 9 (ad es. 95 728), il complemento a 9 produrrà un numero di sole quattro cifre.
• Ancora per una volta un allievo scrive un numero a piacere, sempre di cinque cifre ed voi riportate  incolonnandolo il complemento a 9 di ciascuna delle cifre.

Se ora  invitate un altro allievo ad eseguire l’addizione dei cinque numeri, si avrà la sorpresa di ritrovare esattamente il numero scritto sul biglietto e rinchiuso nella busta all’inizio del gioco cioè quando neppure erano stati scritti quattro dei cinque numeri da addizionare..

Spiegazione:

Indichiamo con x il primo numero.
Per il vostro intervento la somma del secondo e del terzo addendo darà 99 999, così anche per il quarto ed il quinto.
Quindi si avrà

Somma =   x + 99 999 + 99 999
                                                    =    x  + 200 000 – 2 =
                                                    =   (x – 2 )  + 200 000

(x-2) è un numero di cinque cifre  che sommato con 200 000 conserva inalterate tutte le  sue cifre, così come resta inalterato la cifra 2 che rappresenta le centinaia di migliaia.

Auguri!

• Chiede ad un allievo di pensare alla sua data di nascita
• Chiedete di moltiplicare il numero relativo al giorno per 2 e di aggiungere 5 al risultato ottenuto.
• Chiedete inoltre di moltiplicare tutto per 50 e di aggiungere al risultato il numero relativo al mese.
• A questo punto chiedete quale è il numero ottenuto ed in base a questo siete in grado di individuare la data del compleanno.
• Basta infatti sottrarre 250 al numero comunicato ed il numero dà  indicazione della data di nascita: la prima  cifra (o le prime due cifre se il risultato è di 4 cifre) dà indicazione del giorno, mentre le ultime due danno indicazione del numero  relativo al mese di nascita.

Vediamo su un esempio: se un allievo è nato il 15 settembre, eseguirà questo calcolo:

(15 x 2 +5) x 50 + 9 = 35 x 50 + 9 = 1750 +9

e risponderà che ha ottenuto come risultato 1759
A questo punto  dovrete eseguire

1759 – 250 = 1509 da cui si ricava

Si potrà quindi scoprire che l’allievo è nato il  15 settembre

Perché funziona?

Si può indicare con x il numero relativo al giorno di nascita e con y il numero relativo al mese. I calcoli indicati portano all’espressione seguente

se ora chi conduce il gioco sottrae 250 otterrà

ovvero un numero di tre oppure quattro cifre ( se il giorno di nascita è dato da un numero di due cifre).

In questo numero  le ultime due cifre rappresentano il numero relativo al mese di nascita, non modificato in alcun modo dall’altro addendo 100x in quanto si tratta di un numero che termina con due zeri.

Un numero sorprendente!

• Prendete un numero di tre cifre
• rovesciate le cifre ottenendo così un nuovo numero
• sottraete i due numeri
• rovesciate le cifre della differenza ottenuta
• sommate gli ultimi due numeri

Sicuramente avete ottenuto 1089. Perché?

Questa spiegazione viene lasciata al lettore perché ora dovrebbe essere ormai chiaro che non c’è nulla davvero di magico, tutto è matematicamente prevedibile in queste situazioni e l’algebra dà una mano importante per comprendere perché il gioco funziona sempre.

Un’algebra però non fine a se stessa, non un solfeggio ma una vera esecuzione di un brano, con una sua musica, un suo fascino, un suo mistero svelato che contribuisce a dare emozioni e con questo aiuta ad apprendere in modo significativo.

L’illustrazione è tratta dal libro di Anna Parisi – Numeri magici e stelle vaganti – Edizioni  Lapis

Bibiografia
K. Devlin – Il linguaggio della matematica– ed.  Bollati Boringhieri; Torino 2002
R. Bersani – E. Peres – Matematica corso di sopravvivenza –
ed Ponte delle Grazie ; Milano 1998
Ennio Peres – Giochi matematici – Editori Riuniti
E. Rapella – Scommettiamo che?   “La matematica e la sua didattica n. 2 – 1995
Marc, Sandro ZacK – Magia!– ed ELLE DI CI

Il percorso è suddiviso in attività che portano a conoscere concetti  matematici presenti in molti strumenti utilizzati quotidianamente e ad indagare al di là dell’applicazione, come si giunge correttamente a costruire idee matematiche.

Dopo una breve presentazione generale dell’iniziativa e delle regole di base di comportamento, gli allievi/e partecipano in gruppo ad un “gioco” che sa di magia: insieme scelgono un numero tra 1 e 63, i docenti attraverso l’utilizzo di alcune tabelle sono in grado di indovinare il numero scelto.

Gli allievi/e sono condotti così a capire su che cosa si basa il gioco e come sono costruite le tabelle. Si costruiscono così un kit di schede personali estendendo le loro possibilità  di scelta su numeri maggiori.
L’analisi delle schede porta a considerare le idee del primo “gigante” sulle cui spalle è utile disporsi per poter vedere più lontano: si tratta di Leibniz e della sua idea del sistema binario per la scrittura dei numeri.

Gli allievi vengono poi guidati alla costruzione di due “macchine” in grado di semplificare l’operazione di cambio di base nella scrittura dei numeri e vengono evidenziate  situazioni in cui viene utilizzata la base due nella scrittura dei numeri.

Il computer così apre alcuni dei suoi segreti e viene analizzato il codice Ascii  per scrivere parole e simboli, evidenziando sempre su quali spalle è stato importante salire per giungere all’idea definitiva: il codice Morse, il codice Baudot.

Per il codice Morse viene presentato un piccolo circuito elettrico capace di riprodurre linea e punto e viene poi evidenziata l’idea geniale di Morse, che è stata quella di pensare di poter “allungare” il filo.

Relativamente al codice Baudot vengono colte anche suggestioni diverse provenienti da situazioni che sembrerebbero non avere nulla a che fare con la matematica: infatti il complesso musicale Coldplay ha utilizzato il codice Baudot per scrivere il titolo di un loro album.

Nel percorso alla ricerca di spalle di giganti si parla di George Boole per il suo contributo al “calcolo logico” che, ripreso da C. Shannon,  trovò applicazione nei circuiti elettronici  e quindi  nei  computer.

Analizzando un diagramma di flusso in cui si chiede lo scambio di dati, attraverso un gioco collettivo si simula ciò che accade all’interno del computer.

Considerato  che   tutti gli strumenti informatici  registrano i dati attraverso stati elettrici, ci si pone il problema di come possano questi strumenti  funzionare bene, anche quando presentano qualche anomalia. Si introducono, sempre attraverso un gioco, i codici a correzione d’errore.

I giganti in questo caso sono Fano ed Hamming.

Alcuni giochi coinvolgono gli allievi/e ad analizzare i Codici a barre e ad affrontare la matematica che ne giustifica il funzionamento.

Considerando l’ipotesi futura di computer “Ternari”, attraverso un gioco con le carte si introduce la scrittura dei numeri in base tre seguendo la proposta di un antico problema babilonese sull’utilizzo di pesi per una bilancia.

Alla ricerca di giganti che si sono occupati scrittura dei numeri e di  “Macchine per calcolare” si analizza l’abaco  introdotto da G. Papy e con questo ci si cimenta in calcoli complessi come divisioni e moltiplicazioni.

Si considera un metodo Babilonese per eseguire moltiplicazioni  ed il metodo degli Egizi per moltiplicazioni e divisioni.

Gli Egizi poi offrono spunti matematicamente rilevanti a proposito della scrittura delle frazioni: nel nostro percorso, attraverso giochi collettivi si giunge a costruire alcuni dei metodi utilizzati dagli scribi per scrivere frazioni come somma di frazioni unitarie.

Utilizzando particolari piramidi formate da cubetti unitari, si pone agli allievi/e il problema di determinare il numero di cubetti che possono formare una piramide di npiani.

Alla ricerca di “giganti”che hanno sperimentato il fatto che una immagine o un oggetto possano essere di notevole aiuto per capire e risolvere problemi si incontra Pitagora e si lavora  con numeri quadrati, con numeri gnomone e si affronta con queste immagini il calcolo di una radice quadrata  o la determinazione di una formula per somare i numeri pari da 1 a 2n.

Sempre attraverso l’esempio di precedenti “giganti” si analizzano alcune problematiche proposte da Martin Gardner risolte con una raffigurazione geometrica dei numeri: si tratta dei numeri esagonali.

Si giunge a costruire la formula per ottenere la somma dei successivi numeri esagonali, ma si utilizzano anche numeri triangolari, presentando la vicenda di Gauss da bambino e del compito che gli era stato assegnato di calcolare la somma di tutti i successivi numeri naturali da 1 a 100.

In questo caso i materiali utilizzati permettono agli allievi/e di scoprire da soli molte proprietà.

Il passaggio da un personaggio e l’altro viene introdotto da giochi su labirinti e da costruzioni con origami.

Il percorso si conclude con una serie di giochi-problemi collegati con i concetti appresi: tutto viene proposto come un allenamento per la Caccia al tesoro che si svolge nell’ultimo pomeriggio dello Stage e che rappresenta il momento valutativo.